\chapter{引力 Gravitation}
\section{钱德拉塞卡极限的推导步骤是怎样的？ Derivation Steps of Chandrasekhar Limit}
https://www.zhihu.com/question/27390129/answer/37720304

作为天文爱好者，好奇心驱使我不仅仅想了解白矮星、中子星、黑洞这些学术词汇，还想知道其背后的原理，比如说推导的过程。我很想知道为什么单从一个泡利不相容原理，就能够推算出临界质量=1.4倍太阳质量。

写下恒星静力学平衡方程。
写下引力贡献的压强
写下电子简并压
即可

另一种方法是写下引力势能，写下电子简并压带来的能量（可用，限制在体积为$V=\frac{4\pi}{3}R^3$的球中的自由电子气的能量，来做近似），两者加在一起。显然半径越小，引力势能越小，而电子简并压带来的能量越大，故此存在一个能量最低值是为静力学平衡点。但若恒星质量太大，最低值不存在，是为钱极限。

对于一价恒星来说，M,N,V固定，为了计算方便，这里假定球形。

引力势能为

\begin{align}
	E_g&=-\frac{3}{5}\frac{GM^2}{R}\label{ChandrasekharLimit01 }
\end{align}

考虑$L\times L\times L$方盒中的零温近自由电子气，假定周期性边界条件，则动量为

\begin{align}
	p&=-\frac{2\pi\hbar}{L}(n_x,n_y,n_z).\label{ChandrasekharLimit02}
\end{align}

电子气体呈费米-狄拉克分布

\begin{align}
	\varrho&=\frac{1}{1+exp((\epsilon_k(p)-\mu)/k_BT)}.\label{ChandrasekharLimit03}
\end{align}

在零温下，这是动量空间中的一个费米球，其半径$p_F$叫做费米动量。显然，总电子个数N和总能量E为：

\begin{align}
	N&=2\sum_{n_x,n_y,n_z}\theta\left(p_F-\frac{2\pi\hbar}{L}\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}\right)\approx\frac{2V}{\hbar}\int_F\frac{d^3p}{(2\pi)^3}=\frac{8\pi Vp_F^3}{3\hbar^3}\label{ChandrasekharLimit04}\\
	E_k&=2\sum_{n_x,n_y,n_z}\theta\left(p_F-\frac{2\pi\hbar}{L}\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2}\right)\epsilon_k(p)\approx\frac{2V}{\hbar}\int_F\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\epsilon_k(p)\\
	&=\frac{\pi Vc}{\hbar^3}\left[p_F\sqrt{p_F^2+m^2c^2}(2p_F^2+m^2c^2)-m^4c^4arcsinh\left(\frac{p_F}{mc}\right)\right]\label{ChandrasekharLimit05}\\
	&\approx\frac{2\pi Vc}{\hbar^3}p_F^4\left(1+\left(\frac{mc}{p_F}\right)^2+\Theta\left(\frac{mc}{p_F}\right)^4\right)\label{ChandrasekharLimit06}
\end{align}

因子2来自于自旋，$V=L^3=\frac{4\pi R^3}{3},\epsilon_k(p)$叫做色散关系。在高质量恒星中，需要使用相对论性关系

\begin{align}
	\epsilon_k(p)&=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}\approx pc+\frac{m^2c^3}{2p}+\cdots\label{ChandrasekharLimit07}
\end{align}

我们可以从式\ref{ChandrasekharLimit06}中消去$p_F$：

\begin{align}
	E_k&=\frac{3}{8}\left(\frac{9}{4\pi^2}\right)^{\frac{1}{3}}\frac{hc}{R}N^{4/3}+\left(\frac{3\pi^2}{2}\right)^{1/3}\frac{m^2c^3R}{h}N^{2/3}.\label{ChandrasekharLimit08}
\end{align}

总能量为

\begin{align}
	E&=E_g+E_k\label{ChandrasekharLimit09}
\end{align}

恒星真实半径R应当会使总能量最小。这里有三种慟兄：总能量存在最小值且R>0，总能量存在最小值但R=0；总能量不存在最小值。前两者对应白矮星，后者对应更加致密的恒星，如中子星、黑洞等。
\section{白矮星 White Dwarf}
白矮星是质量约为 1$M_{sun}$，半径约为 5000 公里，平均密度高达1E6 g/cm3 的致密天体。白矮星的内部已经不再有热核反应发生。靠残存的能量慢慢冷却。白矮星的典型代表是天狼星的伴星，天狼 B。由光谱测量可知其有很高的表面温度。

在 Dirac 1927年刚完成 Fermi-Dirac 统计的工作之后一个月，Fowler 就提出，电子简并压可以支持恒星的引力坍缩。Chandrasekhar 在1930年考虑了狭义相对论对简并电子的物态方程的影响，提出了 Chandrasekhar 质量极限。前苏联的 Landau 也几乎同时得到了类似的结果。

根据 Heisenberger 测不准关系，粒子的位置越精确，其动量就越不确定。由于白矮星的密度很大，粒子彼此靠得很近。根据 Pauli 不相容原理，全同粒子不能处于同一个状态。因此这些粒子必须具有非常不同的动量，这使得粒子有互相散开的趋势。

不相容原理相当于产生了一个压力，称之为简并压。当电子简并压与引力达到平衡时，恒星就达到一个稳定状态，即成为白矮星。

广义相对论的修正由 Kaplan (1949) 和Chandrasekhar (1964) 分别完成。

由恒星结构方程

\begin{align}
	\frac{dP(r)}{dr}&=-G\frac{m(r)}{r^2}\rho(r)\label{EquationOfSphericalStructure10}\\
	m(r)&=-\frac{r^2}{G\rho(r)}\frac{dP(r)}{dr}\label{EquationOfSphericalStructure11}
\end{align}

\begin{align}
	\frac{dm(r)}{dr}&=4\pi r^2\rho(r)\label{EquationOfSphericalStructure20}
\end{align}

\ref{EquationOfSphericalStructure11}代入\ref{EquationOfSphericalStructure20}，消去m后可得

\begin{align}
	\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(\frac{r^2}{\rho(r)}\frac{dP(r)}{dr}\right)&=-4\pi G\rho(r)\label{EquationOfSphericalStructure21}
\end{align}

假设天体为多层球或多方球，满足物态方程

\begin{align}
	P&=\kappa \rho^\gamma\label{EquationOfSphericalStructure30}
	\gamma=1+\frac{1}{n}\label{EquationOfSphericalStructure31}
\end{align}

其中n称为多方指数，\ref{EquationOfSphericalStructure30}代入\ref{EquationOfSphericalStructure21}，得

\begin{align}
	\frac{\kappa}{r^2}\frac{d}{dr}\left(\frac{r^2}{\rho(r)}\gamma\rho_{\gamma-1}\frac{d\rho(r)}{dr}\right)&=-4\pi G\rho(r)\label{EquationOfSphericalStructure22}
\end{align}

这是关于$\rho$的二阶方程。利用边界条件，

\begin{align}
	\rho(r)|_{r=0}&=\rho_0\label{EquationOfSphericalStructure23}\\
	\rho(r)|_{r=R}&=\rho_R\label{EquationOfSphericalStructure24}
\end{align}

其中球外层边界密度$\rho_R$随球边界外径R而变化，在稳态下受理想气体状态方程控制，即n=$\infty$；在瞬态下，绝热过程n=2.5；在绝热与准静态之间n=2.5$\approx\infty$。

简化计算时可取

\begin{align}
	\rho(r)|_{r=R}&=0\label{EquationOfSphericalStructure25}
\end{align}

可以解出上述方程。引入无量纲化变量

\begin{align}
	a&=\left[\frac{(n+1)\kappa\rho_0^{(1/n-1)}}{4\pi G}\right]^{1/2}\label{EquationOfSphericalStructure26}\\
	\rho&=\rho_0\theta^n\label{EquationOfSphericalStructure27}\\
	r&=a\xi\label{EquationOfSphericalStructure28}
\end{align}

得无量纲化的方程

\begin{align}
	\frac{1}{\xi^2}\frac{d}{dr}\left(\xi^2\frac{d\theta}{d\xi}\right)&=-\theta^n\label{EquationOfSphericalStructure29}
\end{align}

这个方程称为 Lane-Emden 方程。由$\rho(r)$的边界条件可以得到$\theta$的边界条件

\begin{align}
	\theta(\xi)|_{\xi=0}&=1\label{EquationOfSphericalStructure33}\\
	\theta'(\xi)|_{\xi=0}&=0\label{EquationOfSphericalStructure34}\\
	\theta(\xi)|_{\xi=\xi_1}&=\frac{\rho_R}{\rho_0}\label{EquationOfSphericalStructure35}
\end{align}

简化计算时可取

\begin{align}
	\theta(\xi)|_{\xi=\xi_1}&=0\label{EquationOfSphericalStructure36}
\end{align}

由此可以得到白矮星的半径和质量

\begin{align}
	R&=a\xi_1\label{EquationOfSphericalStructure38}\\
	M&=\int_0^R4\pi r^2\rho(r)dr=4\pi a^3\rho_0\int_0^{\xi_1}\xi^2\theta^n(\xi)d\xi\\
	&=-4\pi a^3\rho_0\int_0^{\xi_1}\frac{d}{d\xi}(\xi^2\frac{d\theta}{d\xi})d\xi\\
	&=-4\pi a^3\rho_0(\xi^2\frac{d\theta}{d\xi})|_0^{\xi_1}\\
	M&=4\pi a^3\rho_0\xi_1^2|\theta'(\xi_1)|\label{EquationOfSphericalStructure39}
\end{align}

Chandrasekhar 考虑了相对论对简并电子气物态方程的修正，给出了白矮星的质量上限：

\begin{align}
	M=1.457M_{sun}\label{EquationOfSphericalStructure40}
\end{align}

质量上限的精确值与白矮星物质成份有关。白矮星的半径和质量成反比，质量越大，半径越小。
\section{白矮星的平衡态与坍塌 Equilibrium and Collapse of White Dwarfs}
https://www.zhihu.com/question/27390129/answer/37720304

梁昊, 鲍依木, 王少莘, 宋雪洋, 冯顾言 北京大学物理学院 June 4, 2014
\subsection{摘要}
本文主要讨论了关于白矮星半径与质量的关系。通过自由电子气的物态方程、牛顿引力势方程以及相互作用关系，得到了不同质量范围内的白矮星中的电子化学势所满足的关于位置的非线性常微分方程，无量纲化后通过数值试解得出解，探讨了不同范围内半径对质量的函数关系，并得出极端相对论情况下白矮星的质量上限——钱德拉萨卡极限。
\subsection{Abstract}
This paper mainly focuses on the functional dependence for radius on the mass of a white dwarf. Starting with state equations for free electron gas, the partial diﬀerentiating equations for Newton’s gravitation potential and interaction law, we get the ordinary diﬀerentiating equations on the chemical potential in non-relativistic realm, relativistic realm and general cases respectively. After taking steps to make indexes dimensionless, we adopt numerical calculations with trial boundary conditions to procure the solution and further discuss the functional dependence. In addition, the famous Chandrasekhar limit, namely, the upper limit for the mass of a white dwarf is derived.
\subsection{简介}
白矮星 (white dwarf)，是由恒星在耗尽其中心区的核燃料 -氢后，依靠辐射力抵抗引力的机 制失效后，坍缩演化而成的高密度晚期恒星，它 的主要成分是氢聚变而成的氦核以及电离出的 电子。 它们的密度极高，一颗质量与太阳相当的白 矮星体积只有地球一般的大小。极端高密度的 电子产生的量子简并压力用以抵抗核子间强大 的万有引力。 质量越大的白矮星半径越小，密度越大，电子的化学势越高直至与电子静能可比，在相对论效应的作用下，白矮星出现了质量上限，这就是 著名的钱德拉萨卡 (Chandrasekhar) 极限。 
\subsection{问题分析}
\subsubsection{模型假设 Model Assumptions} 
1. 球对称星体 

2. 电荷背景处处为零 

3. 电子做索末菲自由电子气处理，并做局域 平衡假定:

\begin{align}
	N_e&=2\frac{1}{8}\frac{4\pi}{3}k_m^3\frac{V}{\pi^3}\label{whitedwarf01_1}\\
	n_e&=\frac{V}{N_e}\label{whitedwarf01_2}
\end{align}

4. 引力主要由氦核产生，且只考虑牛顿引力。 注意处处是电中性的 

\begin{align}
	\nabla^2\Phi+4\pi G\rho=0\label{whitedwarf02_1}\\
	\rho&=(m_n+m_p)n_e\label{whitedwarf02_2}
\end{align}

5. 星体半径为 R，总质量为 M

\begin{align}
	\frac{d\Phi}{dr}|_{r=R}=-\frac{GM}{R^2}\label{whitedwarf03}
\end{align}

6. 费米面上的电子和核子通过某种相互作用 联系起来达到平衡

\begin{align}
	\mu_e+(m_n+m_p)\Phi&=Constant\label{whitedwarf04}
\end{align}
\subsubsection{基本方程 Basic Equations} 
联立以上各式，并利用

\begin{align}
	m_n&\approx m_p\label{whitedwarf04_1}
\end{align}

可得

\begin{align}
	\nabla^2\mu_e+\frac{16}{3\pi}Gm_p^2k_m^3&=0\label{whitedwarf05_1}\\
	\frac{d\mu_e}{dr}|_{r=R}=-\frac{2GMm_p}{R^2}\label{whitedwarf05_2}
\end{align}

令

\begin{align}
	\xi&=\frac{r}{R} \label{whitedwarf06_1}
\end{align}

可将方程约简成 

\begin{align}
	\nabla^2\mu_e+\frac{16}{3\pi}Gm_p^2R^2k_m^3&=0\label{whitedwarf16_1}\\
	\frac{d\mu_e}{d\xi}|_{\xi=1}&=-\frac{2GMm_p}{R}\label{whitedwarf16_2}
\end{align}
\subsubsection{色散关系 Dispersion Relation} 
在不同的情况下，可利用不同的色散关系 

1. 经典情形

\begin{align}
	\mu_e&=\frac{h^2k_m^2}{2m_e}\label{whitedwarf17}
\end{align}

2. 极端相对论情形

\begin{align}
	\mu_e&=hk_mc\label{whitedwarf18}
\end{align}

3. 一般相对论情形

\begin{align}
	\mu_e&=\sqrt{m_e^2c^4+h^2k_m^2c^2}\label{whitedwarf19}
\end{align}

下面将分别就这几个情形做讨论。
\subsection{经典情形 Classical Case} 
\subsubsection{方程的导出与无量纲化 Equation Derivation and Dimensionless} 
将色散关系\ref{whitedwarf17}式带入\ref{whitedwarf16_1}式中可得

\begin{align}
	\nabla^2\mu_e+\frac{16}{3\pi}Gm_p^2R^2\left(\frac{\sqrt{2m_c\mu_e}}{h}\right)^3&=0\label{whitedwarf20}
\end{align}

为使方程无量纲化，取

\begin{align}
	f&=\left(\frac{16}{3\pi}Gm_p^2\right)^2\left(\frac{2m_e}{h^2}\right)^3R^4\mu_e\label{whitedwarf21}
\end{align}

原方程化作

\begin{align}
	\frac{d^2\zeta f}{d\zeta^2}+\zeta f^{3/2}&=0\label{whitedwarf22_1}\\
	\frac{df}{d\xi}|_{\xi=1}&=-\left(\frac{16}{3\pi}\right)^2\left(\frac{2Gm_pm_e}{h^2}\right)^3m_p^2MR^3\label{whitedwarf22_2}
\end{align}

这是一个带一个边界条件的二阶常微分方程。考虑到$\xi=0$是方程的奇点，而由物理考虑可以加上一个f(0)有界的自然边界条件。故方程在给定边界上的无量纲数时定解。

由于无量纲数中同时包含了星体的质量和半径，而我们期待通过获知一个星体的质量来获取这个星体的全部信息，因此我们可以在加上一条边界条件，如边界上的密度为零。这样我们就可以将边界上的无量纲数定下，得如下幂次关系

\begin{align}
	R&\propto M^{-1/3}\label{whitedwarf23}
\end{align}

那么我们能纯粹的由分析上得到结论，在非相对论情形，质量大小对于星体的密度分布等等信息没有实质性的影响，而只是影响了一个标度。
\subsubsection{数值计算与结果 Numerical Calculation and Results}
考虑到数值求解边值问题有相当的困难，以及方程带一个奇点。我们考虑将方程变成一个 奇点附近的初值问题来求解。具体来说，我们令

\begin{align}
	g&=\zeta f\label{whitedwarf23_1}
\end{align}

并将问题写作

\begin{align}
	\zeta\frac{d^2g}{d\zeta^2}+g^{3/2}&=0\label{whitedwarf24_1}\\
	g|_{\zeta=\delta}&=\delta k\label{whitedwarf24_2}\\
	g'|_{\zeta=\delta}&=k\label{whitedwarf24_3}
\end{align}

式中$\delta$ 取做一个相当小的正数。 在$ \zeta\in [\delta,1]$ 区域中求解方程，得到g(1)值。不断调整k的大小，直至找到g(1)=0所对应的k值为止。由此就能简单的将其他东西确定下来。图\ref{RelativeDensityOfWhiteDwarf}是求解得到的相对密度分布曲线。中心密度与平均密度之比为

\begin{align}
	\frac{\rho_0}{\rho}&=5.990 \label{whitedwarf25_1}
\end{align}

前面所说的无量纲数也被求得 k = 129.334， 并由此可求出星体半径与质量的具体关系。 

\begin{align}
	MR^3&=129.334\left(\frac{3\pi}{16}\right)^2\left(\frac{h^2}{2Gm_pm_e}\right)^3\frac{1}{m_p^2}\\
	&=2.684\times10^51kg\cdot m^3\label{whitedwarf26_1}
\end{align}


\begin{figure}
	\includegraphics[scale=0.3]{RelativeDensityOfWhiteDwarf}
	\caption{经典白矮星相对密度分布\label{RelativeDensityOfWhiteDwarf}}
\end{figure}
\subsection{极端相对论情形 Extreme Relativistic Case} 
\subsubsection{方程的导出与无量纲化} 
随着星体质量增大，半径减小，密度将会增大，相对论效应会变得不可忽略。为简单起见， 我们先考虑极端相对论的情形。 将色散关系\ref{whitedwarf18}式带入\ref{whitedwarf16_1}式中可得

\begin{align}
	\nabla^2\mu_e+\frac{16}{3\pi}Gm_p^2R^2\left(\frac{\mu_e}{hc}\right)^3&=0\label{whitedwarf27_1}
\end{align}

为使方程无量纲化，取

\begin{align}
	f&=\sqrt{\frac{16G}{3\pi h^3c^3}}m_pR\mu_e\label{whitedwarf28_1}
\end{align}

原方程化作

\begin{align}
	\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{df}{dr}\right)+f^3&=0\label{whitedwarf29_1}\\
	\frac{df}{d\xi}|_{\xi=1}&=-\sqrt{\frac{16}{3\pi}}\left(\frac{G}{hc}\right)^{3/2}m_p^2M\label{whitedwarf29_2}
\end{align}

这是一个带一个边界条件的非线性二阶常微分方程。考虑到$\xi=0$是方程的奇点，而由物理考虑可以加上一个f(0)有界的自然边界条件。故方程在给定边界上的无量纲数时定解。

如果加入边界密度为零的条件，这个无量纲数也可以被唯一的确定下来。与前面不同的是，边界条件只与星体质量有关而与半径无关。那我们就从分析上得到了结论：极端相对论的白矮星质量是一个常数，与半径无关。半径的取值只要使得电子是极端相对论的，也仅有电子是极端相对论的，就能够保证这个结论成立。
\subsubsection{数值结果}
这个微分方程定性上的性质和之前的那个完全一致，因此我们采用相同的办法处理。具体过程就不再重复了。图\ref{RelativeDensityOfWhiteDwarfLimitRelativeTheory}是求解得到的相对密度分布曲线。相对于经典情形，其质量更多的集中在星体内部。中心密度与平均密度之比为

\begin{align}
	\frac{\rho_0}{\rho}&=54.18\label{whitedwarf30_1}
\end{align}

边界上的无量纲数也被求得 k = 2.01824，带回反解可得到临界质量

\begin{align}
	M&=k\frac{\sqrt{3\pi}}{8m_p^2}\left(\frac{hc}{G}\right)^{3/2}\label{whitedwarf31_1}\\
	&=2.85\times10^30kg\label{whitedwarf31_2}\\
	&=1.44M_{sun}\label{whitedwarf31_3}
\end{align}

正是著名的钱德拉萨卡极限。

另外，如果考虑不强加边界密度为零的条件，可以求出不同于\ref{whitedwarf31_3}式给出的质量。但值得注意的一点是，求得的结果只能小于临界质量，而无法大于它。也就是说原边值问题在取一个大于临界质量的边界条件的时候无解。
\begin{figure}
	\includegraphics[scale=0.3]{RelativeDensityOfWhiteDwarfLimitRelativeTheory}
	\caption{极端相对论白矮星相对密度分布\label{RelativeDensityOfWhiteDwarfLimitRelativeTheory}}
\end{figure}
\subsection{一般相对论情形 General Relativistic Case}
\subsubsection{方程的导出与无量纲化}
将色散关\ref{whitedwarf19}带入\ref{whitedwarf16_1}式中可得

\begin{align}
	\nabla^2\mu_e+\frac{16}{3\pi}Gm_p^2R^2\left(\frac{\sqrt{\mu_e^2-m_e^2c^4}}{hc}\right)^3&=0\label{whitedwarf32_1}
\end{align}

本问题中无量纲化比较困难，分几步进行：
先令 

\begin{align}
	g&=\frac{\mu_e}{m_ec^2}\label{whitedwarf32_2}
\end{align}

得到方程

\begin{align}
	\nabla^2g+\frac{16Gm_p^2m_e^2c}{3\pi h^3}R^2(g^2-1)^{3/2}&=0\label{whitedwarf33_1}\\
	\frac{dg}{d\xi}|_{\xi=1}&=-\frac{2GMm_p}{m_ec^2R}\label{whitedwarf33_2}
\end{align}

再令

\begin{align}
	a&=\sqrt{\frac{3\pi h^3}{16Gm_p^2m_e^2c}}=3.86\times10^6m\label{whitedwarf34_1}\\
	\zeta&=\xi\frac{R}{a}\label{whitedwarf34_2}\\
	f&=\zeta g\label{whitedwarf34_3}\\
	M_0&=\frac{\sqrt{3\pi}}{8}\left(\frac{hc}{G}\right)^{3/2}\frac{1}{m_p^2}=1.41\times 10^30kg\label{whitedwarf34_4}
\end{align}

方程化作

\begin{align}
	\zeta^2f''+(f^2-\zeta^2)^{3/2}&=0\label{whitedwarf35_1}\\
	f-\frac{R}{a}f'|_{zeta=\frac{R}{a}}=\frac{M}{M_0}\label{whitedwarf35_2}\\
	f|_{\zeta=0}&=0\label{whitedwarf35_3}
\end{align}

其中第三式为做代换后由于有界边条件而出现的。方程在给定两个无量纲数R/a,M/M0后定解。

出于物理上的考虑，再加入在星体表面密度等于零的条件，即

\begin{align}
	f|_{zeta=\frac{R}{a}}=\frac{R}{a}\label{whitedwarf36_1}
\end{align}

通过这个约束可以得到两个无量纲数R/a,M/M0所满足的关系。

这是一个带一个边界条件的非线性二阶常微分方程。考虑到$\xi=0$是方程的奇点，而由物理考虑可以加上一个f(0)有界的自然边界条件。故方程在给定边界上的无量纲数时定解。
\subsubsection{数值求解与分析}
由于数值求解边值问题的困难，这里采用与之前类似的方法：在零点多给一个导数为k的边界条件，一路往外求解，直到f=1为止；得到此处的$\zeta$与f′值，然后就可以找到R,M的一个对关系点；不断的改变k值，就能够把R,M的关系完整的描绘出来。

图3是数值计算得出的结果。

在双对数标度的图4中能够更方便的看出一些性质：

在低质量、大半径区域的点趋向于一条直线，拟合得到的斜率值为-0.337，与经典情形下(13)式所预言的-1/3相符。

随着星体的质量接近某一极限值Mc，半径将趋向于零。为求得这一临界值，将图3倒过来，并在临界质量附近放大，利用一条二次曲线外推出半径为零时的质量,得到

\begin{align}
	a&=\sqrt{\frac{3\pi h^3}{16Gm_p^2m_e^2c}}=3.86\times10^6m\label{whitedwarf34_1}\\
	\zeta&=\xi\frac{R}{a}\label{whitedwarf34_2}\\
	f&=\zeta g\label{whitedwarf34_3}\\
	M_e&=(2.018249\pm0.000004)M_0\\
	&=2.854\times 10^30kg\\
	&=1.435M_{sun}\label{whitedwarf37_1}
\end{align}

与极端相对论情形计算结果\ref{whitedwarf31_3}符合。
\subsection{总结}
本文出于电子简并压与核子引力势相平衡的考虑，对球对称的白矮星进行了求解。在给定边界密度为零的条件时，白矮星的质量和半径有一个唯一确定的函数关系(图\ref{M0R_CurveOfWhitedwarf})。当质量较小时，质量约正比于半径的负三次方。随着质量的增大，接近一临界值，半径会不断减小，直至模型的假定失效(没有核反应、不计核子的量子效应、引力可以通过牛顿引力计算)。比这个临界质量更大的星体会坍缩成中子星，而不在本问题的考虑范围之内。

\begin{figure}
	\includegraphics[scale=0.3]{M0R_CurveOfWhitedwarf}
	\caption{相对论情形下白矮星质量-半径关系图	\label{M0R_CurveOfWhitedwarf}}
\end{figure}
\subsection{References} 
[1] Wikipedia ”white dwarf” 词 条. http://en.wikipedia.org/wiki/White\_dwarf.

[2] DAVID J.GRIFFITHS. 量子力学概论. 机械 工业出版社, 2009.

[3] 林宗涵. 热力学与统计物理学. 北京大学出 版社, 2007.
